Doomsday Argument, ovvero l’estinzione della randomness

Feb-2023

Il bispensiero è una tecnologia invasiva e assai diffusa di cui va fatta di volta in volta una critica tecnologica puntuale. Nel seguito, la critica tecnologica è applicata al doomsday argument, un famoso esempio di bispensiero misantropo random.

La prima parte dell’argomento scandalistico è molto semplice. Se da un contenitore mescolato bene, pieno di cosi distintamente numerati, che potrebbero essere in totale 10 o 1 milione, viene estratto, in qualunque dato momento, il coso numero 7, risulta 100 mila volte più probabile averlo estratto da un contenitore con 10 cosi rispetto a quello col milione di cosi. Questa valutazione in questa situazione (1), descritta con chiarezza, è abbastanza intuitiva, comprensibile e accettabile anche per un bambino, senza dover approfondire il calcolo delle probabilità applicando tecnologie avanzate di formalizzazione come i teoremi di Bayes per decifrare alcunché.

La seconda parte del doomsday argument invece contiene il gioco di prestigio per scioccare la folla. La suddetta valutazione viene equiparata a quella effettuata in un’altra situazione (2) supposta erroneamente omologa. L’enunciazione della seconda parte suona più oscura, ma si potrebbe tradurre come segue: se i due contenitori di elementi contengono una popolazione di individui nel senso che sono universi alternativi in cui la popolazione umana viene al mondo e prima o poi si estinguerà (in uno dopo 100 miliardi di individui e in un altro dopo 10 milioni di miliardi di individui), se ad essere estratto è un pirla che risulta essere all’incirca il 90-miliardesimo in ordine di natalità, è estremamente più probabile che quel pirla sia stato estratto nell’universo dei 100 miliardi cioè in un universo in cui mancano all’appello solo una manciata di altri miliardi di suoi colleghi prima della loro triste estinzione piuttosto che da quell’altro più longevo e propizio.

Ma non è finita qui. Oltre al danno, la beffa: accade anche che (3) contingentemente quel pirla potresti essere tu. Dati storici alla mano, infatti, capita che tu sia nato, nel nostro universo, all’incirca proprio con quel numero di maglia; dunque, stando a questa escatologia scandalistica, è estremamente più probabile che tu sia stato estratto in un universo in cui mancano all’appello pochi altri miliardi di sfigati dopo di te; e più vicina l’estinzione, maggiore la probabilità.

Dopo un primo momento di smarrimento in cui si rimane un po’ così, con un’analisi un pochino più attenta, tutta l’argomentazione (2/3) risulta per fortuna fallace come un formaggio Emmentaler. Ragionando come questo formaggio, magari, più formaggio c’è, più buchi ci sono; più buchi ci sono, meno formaggio c’è; quindi più formaggio c’è, meno formaggio c’è! Et voilà, ecco un argomento dello stesso spessore del doomsday argument con il quale purtroppo non ci salveremmo dall’estinzione. Anche dopo tale sillogismo, in effetti, c’è un momento in cui si rimane un po’ così, ma analizzandolo un poco più da vicino, con tutte le facoltà cognitive integre, la fregatura dovrebbe emergere senza troppa fatica.

Nell’argomentazione (2/3) del doomsday argument si nota che si assume, tacitamente, nel contesto informativo da cui si chiede di valutare la probabilità, in omologia con la situazione (1), l’ingannevole presupposto che tu, io, o chiunque altro, indicizzati dalla nostra nascita, possiamo essere considerati dei campioni random estraibili nell’insieme della popolazione di tutti gli individui nati o che mai nasceranno nell’universo contenitore. Nella situazione descritta, non lo siamo. Questo è il punto chiave di una lucida confutazione del doomsday argument. Esibizione e smontaggio più in dettaglio del trucco possono dipendere da come si interpreta l’esposizione dell’argomento (2/3) mettendone in luce le ambiguità, quindi proviamo a farlo nei prossimi paragrafi.

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Analizzando una prima interpretazione, molto ristretta, si potrebbe notare che la seconda parte dell’argomento sembra l’equivalente di chiedere di valutare, in uno specifico momento, quante balle ci sono in un sacco di balle che si riempie di balle nel tempo. A differenza del contenitore dell’esposizione (1), gli elementi del contenitore (2/3) non sono tutti già presenti, contemporaneamente, distribuiti in modo da essere equiprobabili nell’estrazione nel momento dell’estrazione. Tutti gli individui non ancora nati sono per definizione non estraibili in quanto l’argomento associa senz’altro nascita con estrazione (numero di maglia estratto con ordine di natalità). Un campionamento random richiede il presupposto che ogni risultato possibile sia egualmente probabile ogni volta che viene preso un campione, ma qui è palese che è possibile campionare poniamo un 70-miliardi solo dopo che è diventato impossibile campionare poniamo un 69-miliardi e prima che diventi possibile campionare poniamo un 80-miliardi, ovvero è cruciale e discriminante la determinata collocazione temporale dell’osservatore campionatore con il suo contesto informativo. Per dirla semplicemente, interpretando così l’argomento, gli individui/elementi non nati non sono campionabili perché campionarli significa farli nascere ovvero cessare di essere degli individui/elementi non nati.

Formalizzando, la probabilità di essere estratto con la maglia 90-miliardi, nel primo universo, o nel secondo, è assolutamente la stessa, ed è pari a 1, mentre la probabilità di trovarsi nel primo o nel secondo universo (dove in un certo senso il primo è incluso nel secondo con cardinalità differente) sono assolutamente equivalenti (non computabili in assenza di altre informazioni) per ogni pirla qualunque sia il numero che risulta scritto sulla maglia, purché la numerazione sia consistente con l’ipotesi, ovvero la cardinalità non sia superiore al quantitativo massimo ipotizzato, nel qual caso si può escludere una delle ipotesi con probabilità nulla. A meno che sulla maglia, naturalmente, non si trovi scritto: “Sei l’ultimo, pirla“; in quel caso, conosci già certamente il tuo destino.

Giusto per vedere con maggiore evidenza, tornando al sacco di balle che si riempie nel tempo, possiamo immaginare che un sacco S2 venga costruito contando le balle prelevate da un sacco S1 di ammontare incognito. Così si comincia a togliere balle da S1 estraendone una prima, per metterla in S2, poi una seconda, poi una terza, e così via, finché, dopo aver estratto la settima, in un momento T che non è affatto random, ma è semplicemente lo specifico momento ovvero il contesto informativo da cui si esegue la valutazione, quando la conta è giunta a 7, in quel determinato momento viene chiesto fastidiosamente: allora? Quante sono in tutto? Beh, evidentemente, chi lo sa? In S2 sono 7, e in S1 sono almeno 7!! Punto. Non si può certo sapere quante ne manchino in S1. Non si capisce perché dovrebbe essere più probabile che ne manchino 15 piuttosto che 819. E perché poi dovrebbero mancarne? Non ha alcun senso. E vogliamo forse sostenere che ogni numero non abbia una posizione speciale nella conta ordinata dei numeri perché no, esce a random? Non credo. Ogni numero ha una posizione speciale nella conta dei numeri, altrimenti che numero è? No, l’unica balla che non mancherebbe qui sarebbe questa interpretazione molto ristretta del doomsday argument e non servirebbero complicate formule, inferenze bayesiane, esponenziali o gaussiane o non si sa cosa per confutarla con più rigore; basta mettere in fila le informazioni e ragionare con lucidità.

In questa direzione, c’è un’interpretazione più allargata dell’argomento che è stata proposta e che vale la pena di affrontare di passaggio. Questa interpretazione assume la possibilità di campionamento random di un qualunque istante selezionato in un intervallo temporale delta-t.

Quest’assunzione è tutt’altro che ovvia. Se si può selezionare l’istante t come campionamento random in un intervallo già trascorso come si selezionano i fotogrammi di un film sul nastro, potendo accedere a tutto il nastro, cioè potendo avere accesso a tutti i fotogrammi con la stessa probabilità di selezionare l’uno o l’altro, se viene selezionato il fotogramma 7, ebbene si sa che il nastro è iniziato da 0, che dura almeno fino a 7, ed è effettivamente più probabile che duri fino a 14 piuttosto che fino a 1 miliardo. Questo perché, se l’intervallo “s’è svolto”, cioè se letteralmente il nastro c’è come oggetto manipolabile, se si può avere accesso campionabile ad ogni imprevedibile istante/fotogramma, ci si trova nella stessa situazione della prima parte (1) dove il contenitore qui è il nastro e i cosi sono i fotogrammi e non vi è proprio nulla di strano nel rapporto di probabilità e nelle conseguenze da trarre.

Ma nel doomsday argument non si dispone del nastro. Se il processo deve ancora svolgersi, se non vi è accesso a tutti gli istanti semplicemente perché devono ancora accadere, viene meno il presupposto del campionamento random ed evidentemente non vi è alcuna garanzia che il processo neppure continui, o che un futuro qualunque vi sia per qualunque processo compresa la confutazione delle balle o la lettura di questo testo. Se si può assumere che il processo sia iniziato nel tal momento, che continuerà, che ci sarà un futuro, e se magari si conosce anche l’andamento nel tempo del processo, beh, fantastico, allora magari c’è tutto l’universo computazionale per calcolare lo stato del processo nel momento t-qualsiasi. Ma non è questo il caso del doomsday argument perché non disponiamo di una simile legge di popolamento naturale o comunque non è data nell’esposizione dell’argomento. E chi l’ha detto che il processo sia ad esaurimento? Nel doomsday argument si assume come ulteriore certezza che un esaurimento via sia, ma anche questa è un’altra assunzione impropria che non è possibile fare: la popolazione potrebbe continuare indefinitamente, o meglio non vi è nulla per escluderlo. Tornando agli intervalli, nel gioco di prestigio interpretato così, la nozione di randomness si è trasmutata per incanto inavvertito nella sua nemesi, cioè nell’unica certezza data – si fa per dire – ovvero nella collocazione specifica del momento in cui si esegue la valutazione; in nessun modo l’osservatore potrà mai considerare quell’istante del suo contesto informativo come indipendente o selezionato a random tra altri istanti ai quali non ha manco alcun accesso nel nulla del suo bispensiero galoppante.

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C’è tuttavia un’ultima interpretazione, definitiva e misticheggiante, della parte (2/3) su cui vale la pena soffermarsi, perché (probabilmente?) è l’unica in cui il doomsday argument sembra avere un senso al netto dei giochi di prestigio. Forse è questa interpretazione che, sotto sotto, si insinua inavvertitamente lasciando una sensazione inarticolata di smarrimento nelle folle. Di base, anche qui il trucco sta sempre in un’incomprensione della randomness del campionamento. Secondo quest’ultima interpretazione, l’argomentazione (2/3) vorrebbe sottointendere che il non ancora nato potrebbe essere considerato misteriosamente campionabile anche senza nascere, in un senso tutt’altro che ovvio e che è bene esibire: si assume che gli elementi nascano/si presentino proprio come una sorta di spirito (immortale, già sempre presente in quanto eterno) si incarna in un corpo, dove qui sarebbero propriamente i corpi a popolare il contenitore dei corpi, mentre gli spiriti già sempre “presenti” potrebbero associarsi con qualunque corpo assumendo che vi sia eguale probabilità di associarsi/incarnarsi in un corpo qualsiasi, un’associazione che in questo senso non sarebbe da considerarsi speciale bensì un’evenienza random nell’insieme delle possibilità di associazione/incarnazione degli spiriti.

Portando in superficie questo lemma nascosto, si può identificare con maggiore chiarezza il consueto errore. Così esposto, l’argomento ha finalmente un senso, ma una sua formalizzazione ordinata rivela facilmente che non c’entra più nulla con la situazione (1). Qui, infatti, ci sono almeno 2 insiemi distinti, che contengono a loro volta elementi supposti distinguibili tra loro. Qui, ad essere esaminata nell’argomentazione, è la relazione tra gli elementi di due insiemi separati e definiti separatamente. La randomness non è riferita alla distribuzione degli elementi del primo insieme (i corpi), ma alla relazione. Il contenitore con 100 miliardi di corpi (A1) potenzialmente incluso nel contenitore con 10 milioni di miliardi di corpi (A2) sono senz’altro insiemi distinti dal contenitore degli spiriti (B), per altro di cardinalità assolutamente incognita e neppure ipotizzata. Qui il contenitore con gli elementi già presenti (egualmente selezionabili) è quello degli spiriti (B), per i quali si presume che sia egualmente possibile e probabile incarnarsi in un qualsiasi corpo nascente ovvero, logicamente parlando, essere messi in relazione con un determinato elemento del contenitore dei corpi in un qualunque momento.

A differenza del caso (1), formalmente abbiamo:

un insieme (A) di cardinalità |A| che si popola di elementi Y numerati e distinti nel tempo;
un insieme (B) di cardinalità |B| incognita, con già presenti tutti gli elementi X;
due ipotesi a confronto di cardinalità di |A| ovvero 100 miliardi o 10 milioni di miliardi alla fine del popolamento;
un campionamento che qui significa che l’elemento X dell’insieme (B) viene associato imprevedibilmente con l’elemento Y che va a popolare l’insieme (A) in un qualunque momento del processo di popolamento di (A);
dopodiché, se l’associazione è a random, cioè se ogni risultato possibile è egualmente probabile ogni volta che viene preso un campione ovvero qui se ogni associazione tra X e Y popolante è egualmente probabile perché ogni X potrebbe essere messo in relazione con ogni Y in qualunque momento del popolamento anche futuro;
se Y è il 90-miliardesimo elemento, cioè se (Xn,Y90), se X risulta associato, nell’estrazione, al 90-miliardesimo elemento Y;
è o non è più probabile che l’elemento X sia associato all’elemento Y appartenente all’insieme (A1) di cardinalità 100 miliardi piuttosto che all’elemento Y appartenente all’insieme (A2) di cardinalità 10 milioni di miliardi?

Non che non sia un quesito stimolante intorno alla metensomatosi o giù di lì, ma la risposta dal punto di vista di un’indagine razionale, magari teologica, o del calcolo delle probabilità, è assolutamente boh, o addio, cioè uno sfondo per ora da escludere, con conclusioni scandalistiche che sono da respingere al di là di ogni ragionevole dubbio o fino a qualsiasi prova contraria. La randomness della relazione R:B→A con campionamento (Xn,Y90) e la cardinalità di |A| sono indipendenti. Inoltre, le misteriose implicazioni o assunzioni metafisiche di questa interpretazione new age sono tutt’altro che chiare. Quanti sono gli elementi di (B)? Possono essere infiniti? Gli elementi/corpi già morti sono esclusi dal codominio? Chi ha stabilito che la relazione R:B→A sia magari funzionale, ovunque definita, iniettiva o suriettiva?? Chi ha stabilito che nascere sia magari un isomorfismo?? Esattamente chi ha stabilito che ogni X abbia la stessa probabilità di nascere/associarsi a qualunque Y? Chi ha escluso che gli elementi X siano pochi miliardi? O che non via siano associazioni più estraibili di altre? E perché mai dovremmo tutti incarnarci in un pirla irresponsabile e con difficoltà di ragionamento? No, i sostenitori del doomsday argument dispongono di informazioni che noi alterità non catastrofiste non abbiamo, oppure non ragionano con chiarezza: sono venuti al mondo in un contenitore di bispensiero misantropo random galoppante. Questa è l’unica spiegazione residua del doomsday argument.